Un numero irrazionale è un numero reale che non può essere ridotto a nessun rapporto tra un intero pe un numero naturale q. L'unione dell'insieme dei numeri irrazionali e dell'insieme dei numeri razionali forma l'insieme dei numeri reali. Nelle espressioni matematiche, gli irrazionali sconosciuti o non specificati sono solitamente rappresentati da u fino a z. I numeri irrazionali interessano principalmente i teorici. La matematica astratta ha applicazioni potenzialmente di vasta portata nelle comunicazioni e nell'informatica, in particolare nella crittografia e nella sicurezza dei dati.
Esempi di numeri irrazionali sono 2 1/2 (la radice quadrata di 2), 3 1/3 (la radice cubica di 3), il rapporto circolare pi greco e la base del logaritmo naturale e. Le quantità 2 1/2 e 3 1/3 sono esempi di numeri algebrici. Pi ed e sono esempi di particolari irrazionali noti come numeri trascendentali. L'espansione decimale di un numero irrazionale è sempre non terminante (non finisce mai) e non ripetitiva (le cifre non mostrano schemi ripetitivi).
Se xez sono irrazionali tali che x <z, allora esiste sempre un y irrazionale tale che x <y <z. L'insieme degli irrazionali è "denso" come l'insieme Q di razionali. Ma in teoria, l'insieme degli irrazionali è "più denso". a differenza di Q , l'insieme degli irrazionali è innumerevole. Ci sono più decimali non terminanti e non ripetitivi di quelli che è possibile elencare, anche implicitamente. Per dimostrarlo, supponiamo che ci sia un elenco implicito di tutti i numeri decimali non terminanti e non ripetitivi compresi tra 0 e 1. Ciascuno di questi numeri è costituito da uno zero seguito da un punto decimale, seguito da una sequenza infinita di cifre dall'insieme {0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Supponiamo che gli elementi della lista siano indicati x 1, x 2, x 3, ... e le cifre nei numeri sono indicate a ii. L'elenco può essere scritto in questo modo:
x 1 = 0. a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 ...
x 2 = 0. a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 ...
x 3 = 0. a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 36 ...
x 4 = 0. a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 ...
x 5 = 0. a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 a 56 ...
x 6 = 0. a 61 a 62 a 63 a 64 a 65 a 66 ...
...
Anche se non conosciamo i valori effettivi di nessuna delle cifre, è facile immaginare un numero compreso tra 0 e 1 che non può essere in questo elenco. Pensa a un numero y della seguente forma:
y = 0. b 11 b 22 b 33 b 44 b 55 b 66 ...
tale che no b ii in y è uguale al corrispondente a ii nell'elenco. Il numero risultante y è non terminante e non ripetitivo, è compreso tra 0 e 1, ma non è uguale a nessuno x i nell'elenco, perché c'è sempre almeno una cifra che non corrisponde.
La non numerabilità dell'insieme di numeri irrazionali ha implicazioni di vasta portata. Forse la cosa più bizzarra è l'idea che "non tutti gli infiniti sono creati uguali". Sebbene l'insieme dei razionali e l'insieme degli irrazionali siano entrambi infiniti, l'insieme degli irrazionali è più ampio in modo dimostrabile.