Un numero trascendentale è un numero reale che non è la soluzione di alcuna equazione polinomiale a variabile singola i cui coefficienti sono tutti numeri interi. Tutti i numeri trascendentali sono numeri irrazionali. Ma il contrario non è vero; ci sono alcuni numeri irrazionali che non sono trascendentali.
Esempi di numeri trascendentali includono pi, il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro in un piano, ed e, la base del logaritmo naturale. Il caso di pi greco ha un significato storico. Il fatto che pi sia trascendentale significa che è impossibile disegnare alla perfezione, usando un compasso e una riga e seguendo le antiche regole greche per le costruzioni geometriche, un quadrato con la stessa area di un dato cerchio. Questo antico puzzle, noto come la quadratura del cerchio, è stato, per secoli, una delle sfide più sconcertanti in geometria. Sono stati ideati schemi che forniscono approssimazioni sorprendentemente vicine alla quadratura del cerchio. Ma nella matematica teorica (a differenza della fisica e dell'ingegneria), le approssimazioni non sono mai abbastanza buone; una soluzione, uno schema o un metodo è valido oppure non lo è.
Può essere difficile, e forse impossibile, determinare se un certo numero irrazionale è trascendentale o meno. Alcuni numeri sfidano la classificazione (algebrica, irrazionale o trascendentale) fino ad oggi. Due esempi sono il prodotto di pi greco ed e (chiamate questa quantità P torta) e la somma di pi greco ed e (chiamate questa quantità S torta). È stato dimostrato che pi ed e sono entrambi trascendentali. È stato anche dimostrato che almeno una delle due quantità P pie e S pie sono trascendentali. Ma al momento della stesura di questo articolo, nessuno ha rigorosamente dimostrato che P pie è trascendentale, e nessuno ha rigorosamente dimostrato che S pie è trascendentale.