Un numero reale è qualsiasi elemento dell'insieme R, che è l'unione dell'insieme dei numeri razionali e dell'insieme dei numeri irrazionali. Nelle espressioni matematiche, i numeri reali sconosciuti o non specificati sono solitamente rappresentati da lettere in corsivo minuscolo da u a z. Il set R dà origine ad altri insiemi come l'insieme dei numeri immaginari e l'insieme dei numeri complessi. L'idea di un numero reale (e ciò che lo rende "reale") è principalmente di interesse per i teorici. La matematica astratta ha applicazioni potenzialmente di vasta portata nelle comunicazioni e nell'informatica, in particolare nella crittografia e nella sicurezza dei dati.
Se xez sono numeri reali tali che x <z, allora esiste sempre un numero reale y tale che x <y <z. L'insieme dei reali è "denso" nello stesso senso dell'insieme degli irrazionali. Entrambi gli insiemi non sono numerabili. Ci sono più numeri reali di quelli che è possibile elencare, anche implicitamente.
Il set R a volte è chiamato il continuum perché è intuitivo pensare agli elementi di R come corrispondente uno a uno con i punti su una linea geometrica. Questa nozione, proposta per la prima volta da Georg Cantor che ha anche notato la differenza tra le cardinalità (dimensioni) degli insiemi di numeri razionali e irrazionali, è chiamata ipotesi del Continuum. Questa ipotesi può essere affermata o negata senza causare contraddizioni nella matematica teorica.
Vedi un'introduzione ai numeri reali e ai sottoinsiemi: