infinito

In generale, l'infinito è la qualità o lo stato di infinità o non ha limiti in termini di tempo, spazio o altra quantità. In matematica, l'infinito è l'espressione concettuale di un numero così "infinito". È spesso simboleggiato dal lemniscate (noto anche come lemniscate di Bernoulli ), che assomiglia al numero 8 scritto lateralmente ( ). Questo simbolo per l'infinito fu usato per la prima volta nel 1600 dal matematico John Wallis.

L'infinito può essere definito come il limite di 1 / x quando x si avvicina a zero. A volte le persone dicono che 1/0 è uguale a infinito, ma tecnicamente la divisione per zero non è definita. Un'altra nozione è che l'infinito è una quantità x tale che x + 1 = x. L'idea è che la quantità sia così grande (positiva o negativa) che aumentando il suo valore di 1 non la modifica.

Un insieme (vedi teoria degli insiemi) può essere definito come infinito se esiste una corrispondenza uno-a-uno tra quell'insieme e un proprio sottoinsieme di se stesso. Secondo questa definizione, l'insieme di interi s è infinito perché i suoi elementi possono essere accoppiati uno a uno con tutti gli interi pari:

Il contrario dell'affermazione di cui sopra non è sempre vero. Alcuni insiemi infiniti hanno sottoinsiemi propri infiniti tali che non possono essere accoppiati uno a uno. Un esempio è l'insieme dei numeri reali se il suo sottoinsieme appropriato, l'insieme degli interi.

Nell'Ottocento Georg Cantor definì l'infinito in termini di cardinalità di insiemi infiniti. La cardinalità di un insieme è il numero di elementi nell'insieme. In questo senso, la cardinalità dell'insieme dei numeri interi è minore della cardinalità dell'insieme dei numeri reali, anche se entrambi gli insiemi sono infiniti. L'insieme dei numeri interi è numerabile (i suoi elementi possono essere tutti contabilizzati mediante uno schema di elenchi), mentre l'insieme dei numeri reali non è numerabile.

In un senso più concreto, le parole "si avvicina all'infinito" sono usate al posto delle parole "aumenta senza limiti". Quindi, si dice che il limite di 1 / x, quando x si avvicina all'infinito, è uguale a zero. In questo contesto, l'infinito non rappresenta una quantità definita, ma è semplicemente un'espressione conveniente.

Vedi anche simboli matematici.